Funkcję \( f:X\to\mathbb R \) nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba \( w\neq 0 \), że dla każdego \( x\in X \) zachodzą warunki \( x\pm w\in X \) oraz \( f(x\pm w)=f(x) \).
Liczbę \( w \) nazywamy okresem funkcji. Jeżeli istnieje najmniejszy dodatni okres, to nazywamy go okresem podstawowym.
Rysunek 1: Przykłady funkcji okresowych
Przykład 1:
Okresem funkcji \( f(x)=\sin x \) jest na przykład liczba \( 4\pi \). Jej okresem podstawowym jest liczba \( w=2\pi \)
Przykład 2:
Funkcja stała \( f(x)=c \) jest funkcją okresową, ale nie ma okresu podstawowego, bo każda liczba dodatnia może być jej okresem.
Uwaga 1:
Jeżeli funkcja \( x\mapsto f(x) \) jest funkcja okresową o okresie \( w \), zaś \( a\in\mathbb R\setminus \{0\} \), to funkcja \( x\mapsto f(x)+a \) oraz funkcja \( x\mapsto af(x) \) mają ten sam okres, natomiast funkcja \( x\mapsto f(ax) \) ma okres \( {w\over {\vert a\vert}} \)
Aby sporządzić wykres funkcji okresowej, wystarczy narysować go dla argumentów z dowolnego przedziału o długości \( w \), a następnie „powielić” na prawo i lewo od tego przedziału. Podobnie, aby podać funkcję okresową wystarczy zadać jej wartości w takim przedziale. Najbardziej znanymi funkcjami okresowymi są funkcje trygonometryczne. Okres podstawowy funkcji sinus i cosinus wynosi \( 2\pi \), zaś funkcji tangens i cotangens \( \pi \).
Funkcja \( f \) ma z góry zadany zbiór określoności, natomiast funkcje \( g \), \( h \) będziemy rozpatrywać w ich dziedzinach naturalnych.
Ad 1. Funkcja \( f \) nie jest funkcja okresową, gdyż nie spełnia pierwszego warunku definicyjnego dotyczącego dziedziny. Jakkolwiek próbowalibyśmy dobrać okres \( w>0 \), to znajdziemy takie \( x\in \mathbb R_- \), że \( x+w
\notin \mathbb R_- \).
uwaga: gdyby funkcja ta była podana następująco \( x\mapsto \sin x \) to rozpatrywalibyśmy ją w jej dziedzinie naturalnej, (tzn. \( \mathbb R \) i oczywiście stwierdzilibyśmy, że jest to funkcja okresowa o okresie zasadniczym \( 2\pi \)).
Ad 2.
Dziedziną naturalną funkcji \( g \) jest \( \mathbb R \), gdyż wyrażenie \( \cos 8x \) ma sens dla dowolnej liczby rzeczywistej, więc pierwszy warunek definicyjny jest spełniony dla dowolnego \( w>0 \). W związku z postacią funkcji \( g \) (pamiętając, że funkcja \( x\mapsto\cos x \) jest funkcją okresową o okresie zasadniczym \( 2\pi \)) stwierdzamy, że funkcja \( g \) też jest okresowa. Jej okres zasadniczy wynosi \( {{2\pi}\over 8}={\pi\over 4} \).
Ad 3.
Podobnie jak dla funkcji \( g \) pierwszy warunek definicyjny jest spełniony. Dalszą część zadania rozwiążemy graficznie, korzystając z uwag dotyczących rysowania wykresów funkcji. Rysujemy etapami wykresy: \( x\mapsto\sin x \), \( x\mapsto\sin{1\over 2}x \), \( x\mapsto \vert\sin{1\over 2}x\vert. \)
Rysunek 2: Okresem zasadniczym funkcji \( h \) jest \( 2\pi. \)
Uwaga 2:
Funkcje okresowe znajdują zastosowanie w technice do opisu zjawisk cyklicznych, np. drgań mechanicznych i akustycznych.
Definicja 2: Parzystość i nieparzystość funkcji
Funkcję \( f:X\to Y \) nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( x\in X \) liczba \( (-x)\in X \) oraz \( f(-x)=f(x) \). Funkcję \( f:X\to Y \) nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \( x\in X \) liczba \( (-x)\in X \) oraz \( f(-x)=-f(x) \).
Rysunek 3: Funkcja parzysta. Wykres symetryczny względem osi \( 0y. \)
Rysunek 4: Funkcja nieparzysta. Wykres symetryczny względem punktu \( (0, 0) \)
Uwaga 3:
Warunek pierwszy wspólny dla funkcji parzystej i nieparzystej oznacza, że dziedzina każdej z nich powinna być symetryczna względem \( (0, 0) \). W szczególności gdy \( X=\mathbb R \), jest on trywialnie spełniony. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \( 0y \), a nieparzystej względem początku układu współrzędnych czyli punktu \( (0, 0) \).
Uwaga 4:
Spośród czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych jedynie funkcja \( x\mapsto\cos x \) jest parzysta, pozostałe są nieparzyste. Inne przykładowe funkcje parzyste, to \( x\mapsto x^2 \), \( x\mapsto x^4 \), \( x\mapsto \vert x\vert \), \( x\mapsto \sin^2x \), a nieparzyste \( x \mapsto x^3 \), \( x\mapsto x^5 \). Zauważmy, że większość funkcji nie ma ani własności parzystości, ani nieparzystości.
Stąd \( D_f=(-5,5) \). Jest to oczywiście przedział symetryczny względem punktu \( (0, 0) \), czyli warunek pierwszy jest spełniony. Obliczmy \( f(-x) \).
\( f(-x)=\log_3{{5-x}\over {5+x}}=\log_3\left({{5+x}\over {5-x}}\right)^{-1}=-\log_3{{5+x}\over {5-x}}=-f(x). \)
Twierdzenie 1: O rozkładzie funkcji na parzystą i nieparzystą
Każdą funkcję \( f \) o dziedzinie symetrycznej względem punktu \( (0, 0) \) można przedstawić w postaci sumy dwoch funkcji \( f_1 i f_2 \), z których pierwsza jest parzysta, a druga nieparzysta.
Wówczas
(1)
\( f_1(x)={{f(x)+f(-x)}\over 2} \)
,
(2)
\( f_2(x)={{f(x)-f(-x)}\over 2} \)
.
Przykład 3:
Rozłożymy funkcję \( f(x)=3x^2+2x+7 \) na sumy części parzystej i nieparzystej.
Rozwiązanie \( D_f=\mathbb R \) jest zbiorem symetrycznym względem punktu \( (0, 0) \), czyli taki rozkład jest możliwy. \( f_1(x)={{f(x)+f(-x)}\over 2}={{3x^2+2x+7+(3(-x)^2+2(-x)+7}\over 2}={{6x^2+14}\over 2}=3x^2+7 \), \( f_2(x)={{f(x)-f(-x)}\over 2}={{3x^2+2x+7-(3(-x)^2-2x+7)}\over 2}={{3x^2+2x+7-3x^2+2x-7}\over 2}={4x\over 2}=2x \).
Odpowiedź
Część parzysta funkcji \( f \) to funkcja kwadratowa \( f_1(x)=3x^2+7 \), część nieparzysta funkcji \( f \) to funkcja liniowa \( f_2(x)=2x \)
Przykład 4:
Znajdziemy część parzystą i część nieparzystą funkcji \( f(x)=2\sin (6x) \).
Rozwiązanie \( D_f=\mathbb R \) jest zbiorem symetrycznym względem \( (0, 0) \), czyli taki rozkład jest możliwy. \( f_1(x)={{f(x)+f(-x)}\over 2}={{2\sin 6x+2\sin (-6x)}\over 2}={{2\sin 6x-2\sin 6x}\over 2}={0\over 2}=0 \), \( f_2(x)={{f(x)-f(-x)}\over 2}={{2\sin 6x-2\sin (-6x)}\over 2}={{2\sin 6x+2\sin 6x}\over 2}=2\sin 6x \).
Zauważmy, że tu \( f_2=f \). Wynika to z faktu, że dana funkcja \( f \) jest funkcją nieparzystą. Wówczas jej częścią parzystą jest funkcja tożsamościowo równa zeru.
Odpowiedź
Część parzysta funkcji f to funkcja \( f_1(x)=0 \), część nieparzysta funkcji \( f \) to funkcja \( f_2(x)=2\sin 6 x \).
Definicja 3: Funkcja ograniczona z góry
Funkcja \( f:X\to Y \) jest ograniczona z góry, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry, czyli jeśli istnieje taka liczba \( M \), że dla każdego \( x \) należacego do dziedizny funkcji \( f(x)\le M. \)
Rysunek 5: Funkcja ograniczona z góry. Wykres leży poniżej prostej \( y=M \)
Przykład 5:
Funkcja \( f(x)=3-\vert x\vert \) jest ograniczona z góry. Jako \( M \) można przyjąć liczbę \( 3 \) lub każdą liczbę większą od \( 3 \). Nierówność \( f(x)\le M \) przyjmuje tu postać \( 3-\vert x\vert\le 3 \) równoważną nierówności \( \vert x\vert\ge 0 \), która jest zawsze spełniona.
Definicja 4: Funkcja ograniczona z dołu
Funkcja \( f:X\to Y \) jest ograniczona z dołu, jeżeli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, czyli jeśli istnieje taka liczba \( m \), że dla każdego \( x\in D_f \) zachodzi \( f(x)\ge m. \)
Rysunek 6: Funkcja ograniczona z dołu. Wykres leży nad prostą \( y=m \) lub jej dotyka
Przykład 6:
Funkcja \( f(x)=2^x-1 \) jest ograniczona z dołu przez liczbę \( -1 \). Nierówność \( f(x)\ge m \) przyjmuje tu postać \( 2^x-1\ge -1 \), czyli \( 2^x\ge 0 \), co jest prawdą dla każdego \( x\in\mathbb R. \).
Przykład 7:
Funkcja \( f(x)=x^3 \) nie jest ograniczona ani z dołu, ani z góry, bo dla dowolnie dużego \( M \) można wskazać takie \( x \), że \( x^3>M \). Podobnie dla dowolnie małego \( m \) można wskazać takie \( x \), że \( x^3<m \).
Definicja 5: Funkcja ograniczona
Funkcja \( f:X\to F \) jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona zarówno z góry jak i z dołu.
Rysunek 7: Funkcja ograniczona. Wykres leży pomiedzy prostymi \( y=M \) oraz \( y=-M \)
Przykład 8:
Funkcja \( f(x)=2+\cos x \) jest ograniczona z góry przez liczbę \( 3 \) i z dołu przez liczbę \( 1 \), czyli jest funkcją ograniczoną.
Definicja 6: Funkcja rosnąca
Funkcja \( f \) jest rosnąca w zbiorze \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów \( x_1,x_2\in A \) stąd, że \( x_1<x_2 \) wynika, że \( f(x_1)<f(x_2) \).
Rysunek 8: Przykład funkcji rosnącej
Definicja 7: Funkcja słabo rosnąca
Funkcja \( f \) jest słabo rosnąca (niemalejąca) w zbiorze \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów \( x_1,x_2\in A \) stąd, że \( x_1<x_2 \) wynika, że \( f(x_1)\le f(x_2) \)
Rysunek 9: Przykład funkcji słabo rosnącej
Uwaga 5:
Jak wynika z powyższych definicji, funkcja rosnąca to taka funkcja, dla której wraz ze wzrostem argumentu wzrasta wartość funkcji. Wykres funkcji rosnącej ,,wznosi się od lewej do prawej.
Definicja 8: Funkcja malejąca
Funkcja \( f \) jest malejąca w zbiorze \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów \( x_1,x_2\in A \) stąd, że \( x_1<x_2 \) wynika, że \( f(x_1)>f(x_2) \)
Rysunek 10: Przykład funkcji malejącej
Definicja 9: Funkcja słabo malejąca
Funkcja \( f \) jest słabo malejąca (nierosnąca) w zbiorze \( A\subset D_f \), jeśli dla każdych dwóch elementów \( x_1,x_2\in A \) stąd, że \( x_1<x_2 \) wynika, że \( f(x_1)\ge f(x_2) \)
Rysunek 11: Przykład funkcji słabo malejącej
Uwaga 6:
Funkcja malejąca to taka funkcja, dla której wraz ze wzrostem argumentu maleje wartość funkcji. Wykres funkcji malejącej "opada w dół" od lewej do prawej.
Definicja 10: Funkcja monotoniczna
Funkcja monotoniczna w zbiorze \( A\subset D_f \) to funkcja, która jest słabo rosnąca na \( A \) lub słabo malejąca na \( A \).
Funkcję nazywamy ściśle monotoniczną w \( A \), jeśli jest ona rosnąca lub malejąca.
Uwaga 7:
Monotoniczność funkcji ma duże znaczenie podczas rozwiązywania nierówności.
Obrazowo można powiedzieć, że funkcje rosnące nie zmieniają zwrotu nierówności, natomiast funkcje malejące zmieniają ten zwrot.
Funkcje logartymiczne i wykładnicze o podstawie ułamkowej z przedziału \( (0,1) \) są malejące, stąd zmiana zwrotu podczas "opuszczania" symbolu tych funkcji, np:
Rozwiązując nierówność:
pamiętamy, że funkcja \( x\mapsto \log_{1\over 2}x \) jest malejąca i zmieniamy zwrot znaku nierówności przy "opuszczaniu logarytmu otrzymując nierówność kwadratową".
\( 3x+2\ge x^2 \)
Natomiast podczas rozwiązywania nierówności:
\( \log_2(3x+2)\le \log_2x^2, \) wiedząc, że funkcja \( x \mapsto log_2x \) jest rosnąca pozostawiamy niezmieniony zwrot nierówności otrzymując wówczas nierówność kwadratową
\( 3x+2\le x^2, \)
Zaloguj się/Zarejestruj w OPEN AGH e-podręczniki
Przypominanie hasła
Moduł został dodany
Dziękujemy za rejestrację!
Na wskazany w rejestracji adres został wysłany e-mail z linkiem aktywacyjnym.
